Trazado de rectas en el espacio E4D

Dr. Carlos M. Martínez M.

cmmm7031@cmmm7031

Prof. Titular jubilado de la Universidad de Carabobo

República Bolivariana de Venezuela

Trazado de rectas en el espacio E4D. ^©

20 de Febrero 2022

1. Introducción

La geometría euclidiana es una rama de la matemática que se encarga del estudio de los espacios que cumplen con los axiomas o postulados de Euclides (No es objetivo en este blog discutir la imposibilidad o la posibilidad de la existencia de una cuarta dimensión espacial, en nuestro mundo real y por ahora, este punto lo dejaré a un lado y dedicaré este blog a la traza de líneas rectas en el espacio 4D. Escritos, puntos de vistas y comentarios a favor o en contra de la existencia o no existencia de la cuarta dimensión existen muchísimos, destacan por mencionar algunos los trabajos de los siguientes autores: Ludwig Schläfli con su «Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen» de 1854, Frederick Riemann en 1854 fundó el campo de la geometría de Riemann y estudio de variedades en el espacio n-dimensional, diferenciales y con las métricas que llevan su nombre. Alice Boole, entre 1880 y 1890 halló que los politopos regulares en 4D, son seis. Charles Howard Hinton con su artículo de 1880, titulado: «What is the Fourth Dimension?», también hizo otros aportes importantes, se le conoce por acuñar la palabra teseracto (en inglés: tesseract) para su sistema de visualización de geometría en 4D, fue autor de la novela de ciencia ficción titulada «Romances científicos«. Albert Einstein con su teoría de la relatividad de 1905-1915 definió el espacio de la cuarta dimensión como una entidad única que llamó: «Espacio-tiempo», unificando tres dimensiones espaciales con una cuarta dimensión temporal. En 1921 (aunque sus ideas se remontan a 1919), Theodor Kaluza publicó, una teoría que es una generalización de las ecuaciones del campo de Einstein. Planteadas en principio, en el espacio-tiempo de Einstein y una quinta dimensión adicional. En 1926, Oskar Klein tomó las ideas de Kaluza y las combinó con algunas ideas teóricas de la mecánica cuántica, cuantificó el valor de la carga en el modelo y la pequeñez e inobservabilidad práctica de la dimensión adicional. La teoría teoría de Kaluza-Klein trató de unificar la teoría de la gravedad de Einstein y el electromagnetismo de Maxwell, usando un modelo geométrico en un Espacio-tiempo 5D. Esta teoría se conoce como la teoría de Kaluza-Klein^[5] y es una generalización de la teoría de la relatividad general de Einstein. Florian Cajori con su trabajo «Origins of Fourth Dimension Concepts» de 1926, publicado por Taylor & Francis, recopila las impresiones y opiniones de muchos matemáticos de renombre acerca de la existencia de la 4D, en su escrito hace un recorrido desde la época de Platón, pasando por Henry Moore, hasta Hernann Minkosky y años posteriores. La idea de un mundo espacial tridimensional y uno temporal quedó arraigada en nuestras mentes como una verdad o una realidad inalterable. Decimos, «Todo lo que está a nuestros alrededores, está enmarcado y se define con tres dimensiones espaciales: anchura, profundidad y altura y una temporal». La frase: «Nuestro espacio físico es tridimensional» es recurrente. Es común, escuchar esa frase repetidamente a todo nivel, es la percepción que tenemos de nuestra realidad. En este blog, sólo me centraré y dedicaré mi esfuerzo a trazar gráficas de lugares geométricos en un espacio matemáticamente posible (el espacio E4D) y de la posibilidad de lograrlo «a las pruebas me remito». La técnica de la traza de lugares geométricos en un espacio 4D es una tarea que hasta el surgimiento de esta idea, mi experiencia me indica, que todavía muchos creen imposible, otros son más flexibles y ha aceptado la idea, pero con cierto recelo. Los autores primarios de la teoría 4D, son autores que me anteceden y son referencias de este trabajo. Muchos de ellos, estuvieron a un paso de lograrlo y sus intentos son muy válidos, otros utilizaron otras técnicas de visualización de la 4D, como: el métodos de las sombras, curvas de niveles, proyecciones espectroscópicas, métodos de colores y otras, en mi caso logré concretar algo más sólido: Trazar gráficas en 4D tal y como tradicionalmente lo hemos hecho en dos y tres dimensiones y con procedimientos similares a los conocidos con algunas y ligeras modificaciones. La aplicación inmediata de la idea, a la que catalogo como novedosa, poderosa, interesante y revolucionaria, es su aplicación directa en la traza de lugares geométricos en el espacio de cuatro dimensiones, espacio que se decidió llamar: «Espacio Euclidiano 4D» o simplemente «Espacio E4D» ^[1]. Para mi, ha sido de gran satisfacción haber alcanzado y desarrollo esta idea, la traza lugares geométricos en un espacio superior a tres dimensiones, aunque confieso que su llegada, vino acompañada de algunas emociones encontradas, en éstos tiempos de convulsiones en mi país de origen y en el mundo, caben mencionar: la pésima situación que viven nuestras universidades venezolanas por varios motivo y la permanencia en el tiempo de esta terrible pandemia (el COVID-19). La divulgación del trabajo y las expectativas esperadas para su presentación han sido afectadas por ambos. La pandemia mundial generalizada es la principal causa, su permanencia en el tiempo ha hecho mucho daño: ha causado horrorosos y difíciles momentos en nuestras familias y ha afectado negativamente el desarrollo de nuestros trabajos.

Retomando nuestro objetivo: El basamento matemático de la metodología es muy sólido; por ahora no se hará público, por lo menos hasta que concrete una discusión más formal en medios y en espacios destinados; para ello (sin menospreciar este medio), como: congresos, simposios o publicaciones en revistas científicas adecuadas y pertinentes. La idea de la traza lugares geométricos en dimensión superiores intuyo es altamente deseada y demanda aún cuando no ha sido pedido explícitamente. La estadística es de las ramas de la ciencia que dispone de herramientas avanzadas para el estudio de fenómenos en alta dimensión: cabe mencionar: componentes principales, biplot, entre otras. Se trata de representar fenómenos de la alta dimensión en baja dimensión (2D o 3D); pero, en el proceso hay pérdida de información. La herramienta que en este blog se presenta será una herramienta de apoyo para el avance y el estudio de fenómenos en alta dimensión específicamente en 4D, me atrevería a decir, que mucho campos de la ciencia se verán afectados de manera positiva. La teoría está enmarcada en la matemática, en las ramas de la Geometría y el Álgebra, con apoyo y basamento primario en la traza de lugares geométricos de baja dimensión. El trabajo del filósofo, matemático y físico francés padre de la geometría analítica René Descartes (1596-1650) a finales del siglo XVII, La Géométrie^[4] y los sistemas de coordenadas cartesianas que llevan su nombre son uno de los pilares de apoyo de este trabajo. La técnica de trazar gráfica en el espacio E4D la inicié en año 2014 y en el año 2016 se publicó el primer ensayo: Geometría E4D^[1], la técnica se ha venido perfeccionando en la medida que se ha adquirido mayores experiencias, la mejora de los algoritmos en la automatización y optimización en la traza de las variedades geométricas 4D es una de las metas. Dentro de las expectativas está la aceptación de la teoría y la validez de la metodología. Es de esperarse que un futuro cercano esta idea tendrá muchas aplicaciones e incidencias, se tendrán arduos debates del tema que tocarán de alguna manera, los cimientos y el enfoque de la teoría relativista y otras en la que subyacen los modelos físicos aceptados en estos tiempos. El objetivo de este blog es ilustrar la traza de lugares geométricos propios del espacio 4D; nos ocupa, específicamente y como objetivo inmediato: la traza de líneas rectas en el espacio E4D.

2. Marco teórico

Definición del problema: Supóngase que se da una ecuación en función de cuatro variables, dígase: x, y, z y w definida como la que describe en la ecuación 2.2. Se pide construir el lugar geométrico asociado a la ecuación dada en R⁴ (trace la gráfica en 4D).

f(x, y, z, w) = 0, (ec. 2.2)

Instrucciones para el trazado de variedades en el espacio E4D: En general, existen una cantidad infinita de puntos, P=(x, y, z, w) que satisfacen la ecuación 2.2. Aunque, se puede dar el caso donde ningún punto del campo de los números reales, cumpla con la condición de la ecuación 2.2. Es decir, no existe puntos reales que satisfagan dicha ecuación. En ese caso, el lugar geométrico es vacío en el campo de los números reales (ℛ) en 4D^[2]. Sin embargo, nosotros vamos a trabajar con lugares geométricos no vacíos. Donde, cada punto P considerado, contiene cuatro coordenadas de ℛ que pertenecen al lugar geométrico. Para trazar los lugares geométricos en 4D, utilizaremos «en general» el método parametrizado clásico o el método clásico; donde, simultáneamente tres de las cuatro variables toman valores reales independientes entre sí y con una cuarta coordenada dependiente de al menos una de las tres primeras. Una infinidad de puntos que cumplan con la condición o ecuación permite la traza del lugar geométrico. Si se da el caso, que la cuarta coordenada pueda ser expresada únicamente y explícitamente en función de las tres primeras coordenadas, diríamos que la ecuación esta descrita en su forma explícita. Si no es el caso, porque la cuarta coordenada no puede ser despejada, como es el caso de ecuaciones no lineales más complejas, habría que calcular la cuarta coordenada por algoritmos numéricos iterativos o procedimientos matemáticos especiales, como por ejemplo: el algoritmo de bisección, el método de Newton u otros. Una vez determinados una cantidad de puntos «suficientes» para graficar, el siguiente paso es localizar y trazar los puntos en el sistema de referencia o sistema de coordenadas. Recomendable el uso de una mezcla de colores convenientemente para poder distinguir o diferenciar las diferentes capas o superficies del lugar que compone la variedad o el cuerpo geométrico que desea trazar. Para herramientas automatizadas use la paleta de colores RGB o similar. Para trazar líneas rectas en el espacio E4D, un sólo color de contraste con el fondo es suficiente. Definir la densidad de puntos y los colores también es importante y algunos casos tendrá que redefinir esos parámetros. Revise, si la escala del sistema de coordenadas 4D es adecuada y conveniente para la traza dicho lugar geométrico. Luego del trazado de puntos, identifique el lugar geométrico. Si es imposible identificar la variedad en los primeros intentos, modifique parámetros de forma y escalas de las variables involucradas, trace y trate de identificar nuevamente el lugar geométrico. En algunas ocasiones, tendrá que repetir esta tarea varias veces, sea creativo.

3. Rectas en el espacio E4D

Rectas en el espacio E4D: En el punto anterior a este párrafo, se consideró un método general para construir o trazar figuras geométricas en cuatro dimensiones. Las instrucciones del método fueron dadas de manera general, asumiendo que el lector dispone o no de una herramienta computarizada para trazar las gráficas de los lugares geométricos deseados en el espacio E4D. Continuando con la intención de aprender a utilizar el espacio 4D, en esta sesión seguiremos con el trazado de líneas rectas en 4D y en todos sus subespacios. La linea recta es uno de los lugares geométricos más sencillo de trazar en 4D (exceptuando el punto, el segmento y los vectores 4D, las instrucciones para la graficación puntos en 4D, ya fueron discutidos y publicados en sesiones anteriores a este blog). El trazado de rectas en el espacio 4D es bastante sencillo, no es necesario el uso de una herramienta computarizada para lograr el objetivo, con el uso de escuadras y reglas se puede hacer la tarea. Para figuras más complejas, como esferas, elipsoides 4D, la herramienta computarizada si es vital. Tengo la satisfacción de haber logrado diseñar un algoritmo computacional en lenguaje R para trazar dichas gráficas (El programa todavía no es público, su disponibilidad estará a disposición prontamente, sea paciente).

Definición paramétrica de la linea recta en 4D: Sea, P=(x, y, z, w) y P₀=(x₀, y₀, z₀, w₀) puntos que pertenecen a un lugar geométrico L, en R⁴. Si, t es cualquier parámetro perteneciente a los números reales y las ecuaciones (3.1, 3.2, 3.3 y 3.4) que se muestran a continuación están referidas al lugar geométrico L, dicho lugar geométrico será una linea recta paralela al vector V=(a, b, c, d) en R⁴ . Las ecuaciones dadas son las ecuaciones paramétricas que definen a la linea recta en R⁴.

x = x₀ + t * a, (ec. 3.1)

y = y₀ + t * b, (ec. 3.2)

z = z₀ + t * c, (ec. 3.3)

w = w₀ + t * d, (ec. 3.4)

Si, ninguno de los números o componentes del vector V es cero, dígase: a, b, c o d, se puede eliminar el parámetro t de las ecuaciones anteriores, para obtener:

(x – x₀ )/a = (y – y₀ )/b , (ec. 3.5)

(y – y₀ )/b = (z – z₀ )/c, (ec. 3.6)

(z – z₀ )/c = (w – w₀ )/d, (ec. 3.7)

que representan las ecuaciones simétricas de la línea recta en R⁴. El vector V define la dirección de la recta en R⁴ y los números: a, b, c y d, serán sus números directores o parámetros directores.

Ejemplo ilustrativo 3.1: Dada las ecuaciones (3.8, 3.9, 3.10 y 3.11) de un lugar geométrico en R⁴. Trace su lugar geométrico.

x = 10 + t * cos(pi/6), (ec. 3.8)

y = 15 + t * cos(pi/3), (ec. 3.9)

z = 10 + t * cos(pi/4), (ec. 3.10)

w = 25 + t * cos(pi/3), (ec. 3.11)

Solución: Se observa que las ecuaciones dadas, desde la 3.8 hasta la 3.10, definen el lugar geométrico . Se pude señalar que el lugar geométrico está parametrizado en función de del parámetro t. Las ecuaciones tienen las mismas estructuras de las ecuaciones que definen una linea recta en R⁴; por lo tanto, el lugar geométrico asociado a las ecuaciones dadas es una línea recta. También, se puede deducir que la línea recta L, pasa por el punto P=(10,15,10,25) y es paralela al vector director V, cuyas componentes son los números directores de la recta L. Así, V=(cos(pi/6),cos(pi/3), cos(pi/4), cos(pi/3)) cuyas compnentes representan los cosenos directores de la linea recta en R⁴.

A continuación, muestro los pasos generales para trazar la gráfica de la linea recta L en 4D, del ejemplo 3.1.

1) Escoja el sistema de coordenadas (x, y, z, w) con una escala conveniente que le permita trazar la recta en estudio, algo similar a la figura 3.1. El sentido de cada eje queda a su elección. En nuestro ejemplo, decidí escoger la distribución «PG» (Pata de Gallina), distribución tipo tripoide o tetraédrica para ubicar los ejes de coordenadas en R⁴.

Figura 3.1 Sistema de coordenadas 4D con una escala definida. (Fuente propia).

2) Determine el vector director de la recta con los números directores de las ecuaciones de la recta L. En nuestro ejemplo, el vector V=(cos(pi/6),cos(pi/3), cos(pi/4), cos(pi/3)) con punto de partida en el origen del sistema de coordenadas definido en el punto 1).

3) Trace el vector director (vector V ) de la recta L o uno proporcional a éste, que se adecue a la escala de su sistema de coordenadas definido en el paso 1); tal y como, se muestra en la figura 3.2. Conocido el vector V, ya Ud. conoce la dirección en R⁴ de la recta para su trazado. Como ya dispone de la dirección sólo faltaría la ubicación de la recta en su sistema de coordenadas 4D.

Figura 3.2 Trazado del vector director V de la recta L del problema 3.1 (Fuente propia).

4) Determine al menos un punto en R⁴ por donde pase la recta L. Utilice las ecuaciones dadas en el problema 3.1. En nuestro caso, calculamos tres puntos que pertenecen a la recta, P₁, P y P₂. Para ello, utilizamos los siguientes valores de t: -12*pi, 0 y +12*pi. Así: P₁ = (-22,64, -3.84, -16.65, 6.15), P=(10, 15, 10, 25) y P₂ = (42.68, 33.84, 36.65, 43.84).

5) Localice los puntos P₁, P y P₂ de la recta L en el sistema de coordenadas escogido en el paso 1). Utilice procedimiento de localización de puntos en 4D descrito en sesiones anteriores a este blog. En nuestro ejemplo se obtendrá algo similar a la figura 3.3.

Figura 3.3 Localización de los puntos P₁, P y P₂ de la recta L del problema 3.1. (Fuente propia).

6) Trace la recta L que pase por los punto P₁, P y P₂. En nuestro ejemplo, obtendrá una figura similar a la figura 3.4. Observe que la recta L del problema 3.1 es paralela a sus vector director V.

Figura 3.4 Trazado de la recta L, del problema 3.1. (Fuente propia).

¡Felicitaciones!, Usted logró trazar su primer lugar geométrico en R⁴. Con ambos «blogs», titulados: Localización de un punto en 4D y el trazado de rectas en el espacio E4D, Usted ya está preparado para trazar segmentos, vectores, rectas y curvas en 4D. Avance de este tópico en próximas sesiones.

Notas del autor: Es bienvenida la retroalimentación de los lectores. Para disfrutar de la belleza de un diamante hay que cortarlo, tallarlo y pulirlo, eliminando en el proceso impurezas e imperfecciones. Prepara tu mente que se avecinan nuevos retos. Si desea apoyar este proyecto contacte a su autor, le estaremos eternamente agradecido.

4. Bibliografía

1. Martínez M. Carlos M. (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.
2. Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica.  Editorial: Hispano Americana.
3. Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
4. Descartes, R., La Géométrie (éd. 1637) Discours de la méthode plus La Dioptrique, plus Les Météores, Jan Maire, 1637.
5. Teoría de Kluza-Klein. (30 de Agosto de 2021) , en Wikipedia. https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_Kaluza-Klein&oldid=138001720

Gráficos de dispersión en alta dimensión

Diagramas de dispersión 2D, 3D y 4D

© Por: Dr. Carlos M. Martínez M., Jueves 02/11/2017

Un gráfico de dispersión es una herramienta estadística poderosa ampliamente utilizada en el estudio y análisis de datos. De gran utilidad en todas las ramas de la ciencia para estudiar o analizar cualquier tipo de fenómeno, abarca áreas de estudio, como: economía, medicina, física, química, ingeniería, ciencias naturales, ciencias sociales, astronomía, entre otras. Un diagrama o gráfico de dispersión p-dimensional es un tipo de gráfico de puntos que se utiliza para representar esquemáticamente p características de n individuos de una población en un sistema de referencia formado por las p-variables. A cada individuo se les mide las p variables de interés, digamos: X₁,X₂,…, X_p y cada uno de ellos es representado por las coordenadas del punto P = (X_i1,X_i2, … , X_ip) en dicho sistema.

Un gráfico de dispersión es útil para explorar y estudiar la relación potencial conjunta que existen entre las variables que caracterizan a una población determinada. Permite estudiar el comportamiento de sistemas y fenómenos de diversas naturalezas. En ingeniería, por ejemplo se puede estudiar la relación que existe entre los n aditivos utilizados en la fabricación de un combustible y la eficiencia, rendimiento o potencia de un motor.

Con un diagrama de dispersión se pueden encontrar patrones o relación entre las variables, identificar grupos y subgrupos poblacionales o clasificar individuos en una población determinada. Lo común y conocido hasta ahora es representar diagramas de dispersión en dos o tres dimensiones, nuestro objetivo en este trabajo es extender una dimensión adicional  y dar a conocer los gráficos de dispersión con cuatro variables de estudio.

Las limitaciones que existen para estudiar fenómenos p-dimensionales de alta dimensión es el hecho sólo se disponen de herramientas gráficas que pueden ser representadas en sistemas de referencias de baja dimensión, (p = 2 o p = 3). El problema de analizar fenómenos de alta dimensión con gráficos de baja dimensión es la perdida de información. Las técnicas matemáticas existentes permiten estudiar fenómenos de altas dimensión reduciendo las dimensiones originales a espacio de baja dimensión; pero perdiendo información en el proceso. Hallar las posibles relaciones conjuntas correctas entre las variables, con este tipo de gráfico de baja dimensión no es nada sencillo. Con el uso de gráficos de baja dimensión sólo se observa el comportamiento parcial del fenómeno, nunca en forma conjunta. Por ejemplo, si se trabaja con gráficos de dispersión bidimensionales en un fenómeno p-dimensional (con: p > 2), se deben analizar un total de  p(p-1)/2 gráficos de dispersión para intentar el comportamiento conjunto del fenómeno. Si se trabaja con gráficos de dispersión tridimensionales en un fenómeno p-dimensional (con: p > 3), se deben analizar un total de  p(p-1) (p-2)/6  gráficos de dispersión para realizar dicho análisis. Si, p=4 el total de gráficos de dispersión bidimensionales a considerar es igual a 6 y si se utilizan gráficos de dispersión tridimensionales el total de gráficos serían igual a 4. Ahora, si se utilizan gráficos de dispersión cuatridimensionales con solo gráfico sería suficiente para realizar dicho análisis. Por ello, nuestro objetivo en este escrito es dar a conocer el uso de gráficos de dispersión con cuatro variables. Para mayores detalles sobre la construcción de gráficas de lugares geométricos en  un espacio 4D recomendamos consulte el texto titulado “Geometría E4D” disponible en kindle de Amazon  y que se apunta en la bibliografía de este informe.

La tabla 01 muestra la representación tabular de los datos de un conjunto de individuos.

Tabla 01. Datos

i	X1	X2	…..	Xp
1	X11	X12	…..	X1p
2	X21	X22	…..	X2p
.	.	.	…..	.
.	.	.	…..	.
.	.	.	…..	.
n	Xn1	Xn2	…..	Xnp

Donde, el parámetro “p” es el número de variables o  la dimensión de trabajo,  i  representa la variable de identificación del individuo, j  representa la j-ésima variable y n representa la cantidad de individuos en estudio. De forma que, el dato X_ij   no es más que el valor que toma la j-ésima variable en el i-ésimo individuo. Por ejemplo, la edad del tercer individuo en un conjunto de 20 individuos.

A continuación, la tabla 01 muestra los datos correspondientes a un estudio hecho por investigadores del laboratorio Eustis de Florida (USA)  para medir la contaminación de mercurio en peces comestibles en la ciudad de Florida EEUU y cuyos resultados fueron publicados por Lange, Royals, & Connor. (1993) en el journal Transactions of the American Fisheries Society. El estudio se realizó en 53 lagos de la zona para examinar los factores relacionados con el nivel de contaminación por mercurio en los peces y las características físico-químicas del agua. Se recogieron muestras de agua de la superficie del centro de cada lago en agosto de 1990 y luego de nuevo en marzo de 1991. En cada muestra, se le midió el nivel de pH, la cantidad de clorofila, concentraciones de calcio y de alcalinidad. El promedio de los valores de agosto y marzo se utilizaron en el análisis.  Se tomaron muestras de pescado de cada lago con tamaños de muestra que van de 4 a 44 peces y se les midió la edad y la concentración de mercurio en el tejido muscular del pez. (Nota: Puesto que los peces absorben mercurio con el tiempo, los peces más viejos tienden a tener concentraciones más altas). Por lo tanto, para hacer una comparación justa de los peces en diferentes lagos, los investigadores usaron una estimación de regresión de la concentración esperada de mercurio en un pez de tres años como el valor estandarizado para cada lago. Finalmente, en 10 de los 53 lagos, no se pudo determinar la edad de los peces individuales y se utilizó la concentración promedio de mercurio del pescado muestreado en lugar del valor estandarizado. La fuente digital de los datos en este experimento estan disponibles en la siguiente dirección electrónica: http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/MercuryinBass.html.

Total de casos: 53

Identificación de las variables:

i:             Número de identificación del lago

id:           Nombre del lago

X1:         Alcalinidad (mg / l como carbonato de calcio)

X2:         pH

X3:         Calcio (mg / l)

X4:         Clorofila (mg / l)

X5:         (Avg_Mercury), Concentración promedio de mercurio (partes por millón) en el tejido                muscular de los peces de ese lago

X6:         Nº de muestras: ¿Cuántos peces se tomaron muestras del lago

X7:         Concentración mínima de mercurio entre los peces de la muestra

X8:         Concentración máxima de mercurio entre el pescado muestreado

X9:         Estimación de regresión de la concentración de mercurio en un pez de 3 años del lago

(o = Mercurio promedio cuando no se disponía de datos de edad)

X10:       Indicador de la disponibilidad de datos de edad de los peces muestreados

En dicha tabla se muestran los datos correspondientes que caracterizan a los 53 lagos de diversos tamaños. Estos lagos fueron considerados en la investigación para medir la concentración de mercurio en partes por millón, en el tejido muscular de los peces de los lagos de Florida. Se observo que los tamaños de los lagos van desde 15.000 a 181.000 hectáreas. Se midieron variables de interés de los lagos, como el pH con rangos que van desde: 3.6 a 9.1, alcalinidades que van desde: 1.2 a 128 mg/L como CaCO3. Los investigadores tomaron una muestra de pescado de cada lago con tamaños de muestra que van de 4 a 44 peces. Se midió la edad de cada concentración de pescado y mercurio en el tejido muscular. Se asumió que los peces absorben mercurio con el tiempo, los peces más viejos tienden a tener concentraciones más altas. Este estudio es de gran importancia debido a que la contaminación por mercurio de peces comestibles de agua dulce representa una amenaza directa para nuestra salud. El pescado es uno de los principales alimentos y no están excluidos de estar contaminado con metales pesados como el mercurio por su presencia en las aguas de ríos, lagos y océanos. LOs envestigadores del estudio original de donde proviene los datos establecieron que  el nivel más bajo de concentración de mercurio que el instrumento de medición detectó fues de 40 partes por billón por lo que consederaron que cualquier nivel por debajo de eso se estableció en 40 partes por billón. El estado de la Florida tiene como norma que un estándar de 1/2 parte por millón como el nivel inseguro de concentración de mercurio en alimentos comestibles. El estudio arrojó que 45,3% de los lagos superan este nivel.

Figura 00. Locación del laboratorio Eustis de Florida, USA.

Tabla 01. Datos sobre la contaminación con mercurio en peces comestibles estudio hecho en florida, EEUU.

i	id	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10
1	Alligator	5.9	6.1	3.0	0.7	1.23	5	0.85	1.43	1.53	1
2	Annie	3.5	5.1	1.9	3.2	1.33	7	0.92	1.90	1.33	0
3	Apopka	116.0	9.1	44.1	128.3	0.04	6	0.04	0.06	0.04	0
4	Blue Cypress	39.4	6.9	16.4	3.5	0.44	12	0.13	0.84	0.44	0
5	Brick	2.5	4.6	2.9	1.8	1.20	12	0.69	1.50	1.33	1
6	Bryant	19.6	7.3	4.5	44.1	0.27	14	0.04	0.48	0.25	1
7	Cherry	5.2	5.4	2.8	3.4	0.48	10	0.30	0.72	0.45	1
8	Crescent	71.4	8.1	55.2	33.7	0.19	12	0.08	0.38	0.16	1
9	Deer Point	26.4	5.8	9.2	1.6	0.83	24	0.26	1.40	0.72	1
10	Dias	4.8	6.4	4.6	22.5	0.81	12	0.41	1.47	0.81	1
11	Dorr	6.6	5.4	2.7	14.9	0.71	12	0.52	0.86	0.71	1
12	Down	16.5	7.2	13.8	4.0	0.50	12	0.10	0.73	0.51	1
13	Eaton	25.4	7.2	25.2	11.6	0.49	7	0.26	1.01	0.54	1
14	East Toh.	7.1	5.8	5.2	5.8	1.16	43	0.50	2.03	1.00	1
15	Farm-13	128.0	7.6	86.5	71.1	0.05	11	0.04	0.11	0.05	0
16	George	83.7	8.2	66.5	78.6	0.15	10	0.12	0.18	0.15	1
17	Griffin	108.5	8.7	35.6	80.1	0.19	40	0.07	0.43	0.19	1
18	Harney	61.3	7.8	57.4	13.9	0.77	6	0.32	1.50	0.49	1
19	Hart	6.4	5.8	4.0	4.6	1.08	10	0.64	1.33	1.02	1
20	Hatchineha	31.0	6.7	15.0	17.0	0.98	6	0.67	1.44	0.70	1
21	Iamonia	7.5	4.4	2.0	9.6	0.63	12	0.33	0.93	0.45	1
22	Istokpoga	17.3	6.7	10.7	9.5	0.56	12	0.37	0.94	0.59	1
23	Jackson	12.6	6.1	3.7	21.0	0.41	12	0.25	0.61	0.41	0
24	Josephine	7.0	6.9	6.3	32.1	0.73	12	0.33	2.04	0.81	1
25	Kingsley	10.5	5.5	6.3	1.6	0.34	10	0.25	0.62	0.42	1
26	Kissimmee	30.0	6.9	13.9	21.5	0.59	36	0.23	1.12	0.53	1
27	Lochloosa	55.4	7.3	15.9	24.7	0.34	10	0.17	0.52	0.31	1
28	Louisa	3.9	4.5	3.3	7.0	0.84	8	0.59	1.38	0.87	1
29	Miccasukee	5.5	4.8	1.7	14.8	0.50	11	0.31	0.84	0.50	0
30	Minneola	6.3	5.8	3.3	0.7	0.34	10	0.19	0.69	0.47	1
31	Monroe	67.0	7.8	58.6	43.8	0.28	10	0.16	0.59	0.25	1
32	Newmans	28.8	7.4	10.2	32.7	0.34	10	0.16	0.65	0.41	1
33	Ocean Pond	5.8	3.6	1.6	3.2	0.87	12	0.31	1.90	0.87	0
34	Ocheese Pond	4.5	4.4	1.1	3.2	0.56	13	0.25	1.02	0.56	0
35	Okeechobee	119.1	7.9	38.4	16.1	0.17	12	0.07	0.30	0.16	1
36	Orange	25.4	7.1	8.8	45.2	0.18	13	0.09	0.29	0.16	1
37	Panasoffkee	106.5	6.8	90.7	16.5	0.19	13	0.05	0.37	0.23	1
38	Parker	53.0	8.4	45.6	152.4	0.04	4	0.04	0.06	0.04	0
39	Placid	8.5	7.0	2.5	12.8	0.49	12	0.31	0.63	0.56	1
40	Puzzle	87.6	7.5	85.5	20.1	1.10	10	0.79	1.41	0.89	1
41	Rodman	114.0	7.0	72.6	6.4	0.16	14	0.04	0.26	0.18	1
42	Rousseau	97.5	6.8	45.5	6.2	0.10	12	0.05	0.26	0.19	1
43	Sampson	11.8	5.9	24.2	1.6	0.48	10	0.27	1.05	0.44	1
44	Shipp	66.5	8.3	26.0	68.2	0.21	12	0.05	0.48	0.16	1
45	Talquin	16.0	6.7	41.2	24.1	0.86	12	0.36	1.40	0.67	1
46	Tarpon	5.0	6.2	23.6	9.6	0.52	12	0.31	0.95	0.55	1
51	Tohopekaliga	25.6	6.2	12.6	27.7	0.65	44	0.30	1.10	0.58	1
47	Trafford	81.5	8.9	20.5	9.6	0.27	6	0.04	0.40	0.27	0
48	Trout	1.2	4.3	2.1	6.4	0.94	10	0.59	1.24	0.98	1
49	Tsala Apopka	34.0	7.0	13.1	4.6	0.40	12	0.08	0.90	0.31	1
50	Weir	15.5	6.9	5.2	16.5	0.43	11	0.23	0.69	0.43	1
52	Wildcat	17.3	5.2	3.0	2.6	0.25	12	0.15	0.40	0.28	1
53	Yale	71.8	7.9	20.5	8.8	0.27	12	0.15	0.51	0.25	1

Fuente: ://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/MercuryinBass.html

Diagramas de dispersión bidimensionales, tridimensionales y tetradimensionales

El objetivo de este trabajo es mostrar la utilidad de los diagramas de dispersión en los estudios y análisis de estudio estadístico. El diagrama de dispersión en dos dimensiones o bidimensional es una herramienta visual y de análisis que se puede utilizar para representar en forma gráfica la relación existente entre un par de variables. En un diagrama de dispersión en 2D se muestra la nube de puntos de pares coordenadas de ambas variables, digamos: X e Y.  En el diagrama se puede apreciar una posible relación de dependencia, correlación o influencia que tiene una variable sobre la otra o la existencia de grupos en una muestra de tamaño n clasificada a través de dos variables de interés. Este tipo de gráfico es una herramienta de análisis, muy utilizado el área de control de calidad. En algunos casos el gráfico de dispersión también se puede utilizar para visualizar el comportamiento de un variable en una muestra poblacional. Para ello, sólo se considera el identificador del individuo vs. la variable de interés. A continuación, se presentaran algunos ejemplos de gráficos de dispersión bidimensionales en varios espacios 2D, 3D y 4D.

Diagramas de dispersión bidimensionales

Ejemplo 01. Construya gráfico de dispersión para mostrar la concentración de mercurio de los peces en los diferentes lagos.

Gráficos de dispersión bidimensionales en sistemas de referencias bidimensionales

En la figura 01 se muestran dos gráficos de dispersión donde se muestra la concentración de mercurio en partes por millón, en el tejido muscular de los peces de lagos de Florida E.E.U.U al igual que en la tabla 01 de este informe. El gráfico de la izquierda de la figura 01 muestra el promedio de la concentración de mercurio en los peces en partes por millón sin discriminar rangos de concentración; mientras que el gráfico de la derecha, se muestra el mismo gráfico; pero, clasificados por rangos de concentración del mercurios y diferenciados en colores para facilitar la clasificación.

Figura 01. Gráficos de dispersión bidimensionales en un espacio 2D para medir la concentración de mercurio en peces comestibles en 53 lagos de Florida E.E.U.U.

En el gráficos de la figura 01 y en la tabla 01 se puede visualizar que once (11) de las cincuenta y tres (53) especies estudiadas presentaron concentración de mercurio por debajo de 0.2 partes por millón y seis (6) especies presentaron concentración de mercurio por encima de 1.0 partes por millón el resto presentaron concentración de mercurio entre 0.2 y 1.00 partes por millón.  Las especias que presentaron mayor concentración de mercurio fueron las especies: Alligator, Annie,  G Brick, East Toh, Hart y Puzzle por encima de 1.0 partes por millón.

Gráficos de dispersión bidimensionales en sistemas de referencias 4D.

La figura 02 muestra los mismo gráficos de dispersión bidimensionales de la figura 01; pero, en planos bidimensionales que pertenecen al un espacio de referencia 4D (específicamente en los planos XY, XZ, XW y ZW). Observe que éstos gráficos son similares a los gráficos de dispersión bidimensionales de la figura 01, lo que cambia es el sistema de referencia.

Figura 02. Gráficos de dispersión bidimensionales en un espacio 4D.

Ejemplo 02. Se desea visualizar la concentración de calcio en los diferentes lagos donde se muestrearon los peces. Utilice gráficos de dispersión.

Gráficos de dispersión bidimensionales en sistemas de referencias bidimensionales

La figura 03 muestra dos gráficos de dispersión donde se visualiza una característica química de los lagos «la concentración de calcio, medido en mg/l». Esta característica mide las alcalinidades de los lagos (1.2-128 mg/L de CaCO3). En el gráfico de la izquierda muestra la concentración de calcio en los lagos, sin discriminar los rangos de concentración.  Mientras que el gráfico de la derecha muestra o se puede apreciar que la concentración de calcio en los lagos clasificados por rangos de concentración de calcio, diferenciados en colores.

Figura 03. Gráficos de dispersión bidimensionales en un espacio 2D para medir la concentración de Calcio en los 53 lagos de Florida E.E.U.U.

En el gráficos se puede visualizar que sólo doce (12) de los cincuenta y tres (53) lagos estudiados presentaron concentración de Calcio por encima de 40 mg/l. y sólo cinco (5) presentaron concentración de calcio por encima de 50 mg/l. el resto presentaron concentraciones de calcio menores que 40 mg/l..  Los lagos que presentaron mayor concentración de calcio fue donde fueron muestreadas las especies: Apopka, Crescent, Farm-13,  George, Harney, Monroe, Panasoffkee, Parker, Rodman, Talquin, Rousseau y Puzzle.

Otras bondades de los gráficos de dispersión

Otra bondad o utilidad de los gráficos de dispersión bidimensionales es determinar si existe relación entre pares de variables. Los gráficos de dispersión 2D también permiten observar de manera gráfica la posible relación existente entre ellas; por lo que, son muy utilizados en técnicas estadísticas de estudios de dependencia, como es el caso, de los estudios del análisis de regresión. Otra utilidad de este tipo de gráfico es que su análisis nos permite detectar la existencia de grupos de individuos clasificados por pares de variables.  Uno de los objetivos didácticos de este trabajo es mostrar las bondades de los gráficos de dispersión para determinar posibles relaciones entre variables y/o  determinar la existencia de grupos de individuos clasificados por grupos de variables. A continuación, se muestra algunos ejemplos del caso de estudio. En nuestro ejemplo de estudio, recordemos que los investigadores del estudio original tomaron una muestra de peces de tamaño grande conocidos como Micropterus salmoides. Esta muestra fue tomada de 53 lagos de la Florida y el objetivo de estudio consistía en determinar las relaciones entre la concentración de mercurio en peces y las características físicas-químicas de los lagos. Los investigadores determinaron que el nivel de alcalinidad de los lagos podría estar asociado con la concentración de mercurio, y de alguna manera puede ayudar a explicar los niveles más altos de mercurio y determinaron que las características químicas de los lagos influyeron fuertemente en la bioacumulación del mercurio en los peces y que La concentraciones de mercurio, estandarizadas a edad de 3 peces para la comparación entre los lagos, oscilaron entre 0,04 y 1,53 μg/g y se correlacionaron negativamente con alcalinidad, calcio, clorofila, magnesio, pH, dureza total, nitrógeno total y fósforo total.  En este pequeño estudio utilizaremos los gráficos de dispersión para verificar algunos de estos resultados.

Ejemplo 03. Determine se existe relación entre la concentración de mercurio en los peces y las características físicas y químicas de los lagos, como tamaños de los lagos (15-181.000 hectáreas), pH (3.6-9.1), concentración de Calcio, Clorofila  y alcalinidades (1.2-128 mg/L de CaCO3). Utilice gráficos de dispersión.

La figura 04 muestra gráficos de dispersión 2D. En ellos, se puede apreciar la existencia de una posible relación entre la concentración de Mercurio en los peces y la concentración de Calcio presente en los lagos. Los gráficos muestran, si existe relación de dependencia entre ambas variables. En nuestro caso, Los gráficos ilustran una relación que existen relaciones de dependencia fuerte de carácter no lineal entre ambas variables. En los gráficos también se puede apreciar la existencia de tres datos atípicos odentificados con color azul y que corresponden a especies Harney, Puzzle y Talquin. Estas especies muestran alta concentración de Mercurio en lagos con alta concentración de Calcio. El resto de las especies muestran la relación que gobiernan a la muestra con respecto a ambas variables concentración de Mercurio en peces y concentración de Calcio en los lagos, mientras más concentración de Calcio tenga el lago menos concentración de Mercurio presenta el pez, esta relación inversa e hiperbólica.  Además se observan tres grupos bien definidos.

Figura 04. Gráficos de dispersión bidimensionales en un espacio 2D,  muestran la relación entre concentración de calcio en los lagos y la concentración de Mercurio en los peces.

Figura 05. Gráficos de dispersión bidimensionales en un espacio 4D,  muestran la relación entre concentración de calcio en los lagos y la concentración de Mercurio en los peces.

La figura 05 muestra diferentes gráficos de dispersión 2D en el espacio 4D para el mismo par de variables, concentración de mercurio en peces y concentración de Calcio en lagos. En ellos se muestra la relación existente entre la concentración de calcio en los diferentes lagos y la concentración de mercurio en los peces comestibles de los lagos en los planos bidimensionales XY, XZ, XW y ZW del espacio 4D. En todos se aprecia la relación ya descrita en el párrafo anterior.

Figura 06. Gráficos de dispersión bidimensionales en un espacio 2D,  muestran la relación entre concentración de clorofila en los lagos y la concentración de Mercurio en los peces.

Figura 07. Gráficos de dispersión bidimensionales en un espacio 4D,  muestran la relación entre concentración de clorofila en los lagos y la concentración de Mercurio en los peces.

La figura 06 muestra gráficos de dispersión 2D que relacionan la variable clorofila presente en los lagos con la concentración de mercurio en los peces visto en varios planos del sistema 4D. Los gráficos muestran un tipo de relación con comportamiento similar visto en el ejemplo anterior, referidos a la concentración de Calcio en los diferentes lagos y la concentración de mercurio en los peces comestibles de los lagos. Los gráficos bidimensionales muestran que existen relaciones de dependencia fuerte de carácter no lineal entre ambas variables. Los gráficos de la figura 07 muestran gráficos de dispersión bidimensionales en un sistema de referencia 4D.

Diagramas de dispersión tridimensionales (3D)

Los gráficos de dispersión 3D permiten visualizar posibles relaciones entre un trío de variables. Esta gráficos apuntan a que los gráficos tridimensionales permitan visualizar el fenómeno desde una forma más amplia ya que se involucran tres variables simultáneamente. El investigador visualiza el fenómeno desde una perspectiva  tridimensional donde se es capaz de ver comportamentos que no se visualizan en los gráficos de dispersión bidimensionales. Por lo tanto, la representación tridimensional, tiene ventajas sobre los bidimensionales (ver figura 08). El gráfico de la izquierda muestra en color azul  la relación que existe entre la concentración de Mercurio en los peces, el PH de los lagos y su concentración de Calcio. En color rojo claro, negro y rojo oscuro las proyecciones bidimensionales en planos del sistema 3D.

Figura 08. Gráficos de dispersión tridimensionales y proyecciones en los planos. Muestran la relación entre el pH del lago, concentración de Calcio en los lagos y la concentración de Mercurio en los peces.

Figura 09. Gráficos de dispersión tridimensionales. Muestran la relación entre el pH del lago, concentración de Calcio en los lagos y la concentración de Mercurio en los peces.

Figura 10. Gráficos de dispersión en 3D y sus proyecciones en los planos generatrices del espacio 3D.

Las proyecciones de la figura 10 muestran el comportamiento o el patrón que relaciona las variables dos a dos. Para este caso las variables de estudio fueron:  concentración del Calcio en los lagos, concentración de Clorofila en los lagos y concentración de Mercurio en los peces . Este tipo de gráfico permite visualizar relación entre las variables de estudio. Sin embargo. Existen limitaciones cuando se quiere visualizar el fenómeno  con más de tres variables. Hasta ahora, no se conocía y había sido imposible trazar gráficas con más de tres variables y el análisis de relación entre las variables se debía realizar utilizando técnicas multivariantes complejas, como el análisis de componentes principales, por ejemplo. Por lo tanto las gráficas de dispersión estaba limitada al estudio de fenómenos con tres variables como máximo. Para fenómenos con más de tres variables  había que utilizar subconjuntos de dos o tres variables para realizar las gráficas y analizar el problema de manera parcial con estos subconjuntos.

Diagramas de dispersión 3D en un espacio de referencia 4D

A continuación, se ilustran gráficas de dispersión 4D, que constituye una herramienta de poderosa para el análisis matemático y estadístico de un fenómeno determinado. Los gráficos de dispersión tridimensionales sólo permiten visualizar el fenómeno limitado a las posibles relaciones entre un trío de variables. Con la aparición de esta técnica en 4D, el investigador puede visualizar el comportamiento del fenómeno con una variable adicional, gráficos en 4D. La técnica permite trazar gráficas de dispersión en cuatro dimensionales, una variable más con respecto a los gráficos  tridimensionales. En los gráficos de dispersión 4D se visualiza simultáneamente  la nube de puntos de todos los individuos; cada uno de ellos representado en un gráfico donde se visualiza las coordenadas de sus cuatro variables en forma simultánea. A continuación, se muestran algunos ejemplos.

Ejemplo 04. Determine si existe relación entre la concentración de mercurio en los peces, las características físicas y las características químicas de los lagos, considere las siguientes variables: Concentración de Calcio, concentración de Clorofila  y la concentración de Hg. Utilice gráficos de dispersión 3D en el espacio 4D.

A continuación, las figuras 11 y 12 muestras gráficos de dispersión 3D  en el espacio 4D y sus proyecciones en los planos bidimensionales. Los gráficos se pueden utilizar para analizar el comportamiento de la concentración de mercurio en los peces comestibles de los lagos de Florida en función de la concentración de Calcio y Clorofila en dichos lagos.

Figura 11. Gráficos de dispersión tridimensionales XYZ en el espacio 4D y proyección de la nube de puntos 3D en los planos de coordenadas del espacio 4D.

Figura 12. Gráficos de dispersión tridimensionales XZW en el espacio 4D y proyección de la nube de puntos 3D en los planos de coordenadas del espacio 4D.

Diagramas de dispersión 4D

Ejemplo 05. Determine si existe relación entre la concentración de mercurio en los peces y las características físico-químicas de los lagos. Evalúe: Concentración de Calcio, concentración de Clorofila en los lagos, pH de los lagos,  y la concentración de Hg en los peces. Utilice gráficos de dispersión 4D en el espacio 4D.

En los gráficos de las figuras 13 y 14 muestran nubes de puntos 4D y que relacionan la concentración de mercurio en los peces en función de las variables  concentración del Calcio en los lagos, la concentración de Clorofila en los lagos y su PH. La diferencia de estos gráficos con los gráficos tridimensionales es que simultáneamente se presentan en los gráficos  las cuatro variables de estudio. (Mercurio, Calcio, Clorofila y PH)

Figura 13. Gráficos de dispersión tetradimensionales y proyección de un punto en los planos de coordenadas.

Los gráficos de dispersión en 4D permitan visualizar el fenómeno o relación entre variable desde una perspectiva más amplia que la visión bidimensionales o tridimensionales.

Figura 14. Gráficos de dispersión tetradimensionales en un espacio 4D para medir la concentración de mercurio en peces comestibles en 53 lagos de Florida E.E.U.U.

Se corrobora la hipótesis y resultados de los investigadores, quienes determinaron que las características físico-químicas de los lagos influyeron fuertemente en la bioacumulación del mercurio en los peces. Y se refuerza lo que la población se temía, «la contaminación por mercurio de peces comestibles de agua dulce representa una amenaza directa para la salud de quienes los consumen». El objetivo de este humilde informe también se cumplió. Representar el fenómeno de estudio en cuatro dimensiones.

Bibliografía

• [1]  Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica                      Editorial Hispano-Americana.
• [2]  Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.
• [3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.               DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.
• [4] Lange, T. R., Royals, H. E., & Connor, L. L. (1993). Influence of water chemistry on        mercury concentration in largemouth bass from Florida lakes. Transactions of          the American Fisheries Society, 122(1), 74-84.

Book (PDF Available on kindle) · March 2016  Edition: 1ra: Carlos Martínez, Editor: Carlos Martínez, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720

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Autor

Dr. Carlos M. Martínez  M.

Profesor titular

República Bolivariana de Venezuela

Universidad de Carabobo

Escuela de Ingeniería Industrial

© Todos los derechos reservados. Protegido bajo ley.

Para consultas por favor escriba al siguiente correo:  cmmm7031@gmail.com

Paraboloides Elípticos e Hiperbólicos 4D

Paraboloides Elípticos e Hiperbólicos 4D

© Por: DR. Carlos Martínez, Sábado 11/03/2017

Cuádricas en el espacio 4D

Superficies y sólidos tipo sillas de montar

En este artículo se van a considerar las cuadricas representadas por las siguientes ecuaciones:

Donde, los coeficientes A y B son diferentes de cero y el parámetro C es una constante que puede tomar cualquier valor real. Dichas ecuaciones representan las ecuaciones canónicas u ordinarias de las cuádricas 3D en el espacio 4D.  Existen varios tipos de paraboloides, entre ellos:

• Los paraboloides Elípticos: que son aquellas superficies con ecuaciones similares a las ecuaciones dadas y coeficientes de sus términos A y B con el mismo signo.
• Los paraboloides Hiperbólicos: que son aquellas superficies con ecuaciones similares a las ecuaciones dadas y coeficientes de sus términos A y B con el mismo signo.

Ejemplo 01. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

A continuación la figura 01 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 05.

             

Figura Nº 01. Lugares geométricos en el espacio 4D asociado al Ejemplo 01.

Ejemplo 02. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

A continuación la figura 02 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 06.

Figura Nº 02. Lugar geométrico en el espacio 4D asociado al Ejemplo 02.

Ejemplo 03. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

A continuación la figura 03 muestra el lugar geométrico asociado a la ecuación 07.

Figura Nº 03. Lugar geométrico en el espacio 4D asociado al Ejemplo 03.

Hiperparaboloide 4D o Paraboloide 4D

Un paraboloide 4D es una figura geométrica propia del espacio 4D, formada por infinitas superficie tridimensional tipo paraboloides. En  cuatro dimensiones la ecuación analítica pertenece a las cuadricas que se describe mediante la siguiente expresión

Al igual que los paraboloides 3D en 4D, las diversas combinaciones en las constantes y en sus signos de la ecuación anterior, produce varios tipos de paraboloides, entre ellos: el hiperbólico y el elíptico. Vamos a ejemplificar con uno de tipo paraboloide hiperbólico 4D, o el Hiperparaboloide 4D que se corresponde con la famosa silla de montar sólida.

Ejemplo 04. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

A continuación la figura 02 muestra lugares geométricos asociados a la ecuación 09.

Figura Nº 04. Lugar geométrico en el espacio 4D asociado al Ejemplo 04.

Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R4 con ayuda del software “graficadorE4D”.

“Las figuras geométricas propias del espacio 4D son sólidos“

Biblografía

[1]  Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica                      Editorial Hispano-Americana.

[2]  Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.

[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.                 DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

Autor

Dr. Carlos M. Martínez  M.

Profesor titular

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Para consultas y otras cosas de interés común (Simposio, seminarios, congresos, entre otros) favor escribir al siguiente correo:  cmmm7031@gmail.com

Circunferencias, esferas 3D y esferas 4D

Circunferencias, Esferas 3D y Esferas 4D en el espacio 4D

© Por: Dr. Carlos Martínez, Miércoles 02/11/2016

Circunferencias en el espacio 4D

Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio ^[1]. La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación en el espacio 4D una de las siguientes seis ecuaciones:

Existen otras formas analíticas de expresar una circunferencia en el espacio 4D, que no se discutirán en este blog y que dejaremos de como una asignación a nuestros queridos lectores. Por ahora, se mostrarán ejemplos de algunas representaciones gráficas de este lugar geométrico en un espacio 4D.

 Ejemplo 01. Trace los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones analíticas.

A continuación,  la figura 01 muestra los lugares geométricos asociados al ejemplo 01.

Figura Nº 01. Circunferencias en el espacio 4D, asociadas al ejemplo 01.

 Esferas 3D en el espacio 4D

La superficie esférica se define como el lugar geométrico cuyos puntos del espacio equidistan de un punto fijo. La esfera es un lugar geométrico propio en el espacio 3D.  La distancia constante se llama radio, denotado con la letra r,  y el punto fijo centro, denotado con las coordenadas (k, h, l) en 3D ^[1]. En espacio de cuatro dimensiones se describe mediante una de las siguientes ecuaciones analíticas:

Su centro se define dependiendo del subespacio 3D en el cual esté definida, que puede ser: (k, h, l, 0), (k, h, 0, l),  (k, 0, h, l) o (0, k, h, l).

Ejemplo 02. Trace los lugares geométricos asociados a las siguientes ecuaciones analíticas.

A continuación la figura 02 muestra los lugares geométricos asociados a las ecuaciones anteriores.

Figura Nº 02. Esferas 3D en el espacio 4D asociados al ejemplo 02.

 Esferas 4D

La superficie esférica 4D se define como el lugar geométrico cuyos puntos del espacio equidistan de un punto fijo, la bautizamos con el nombre de “Tesesfera”. La esfera 4D se puede interpretar como un lugar geométrico propio en el espacio 4D. Una esfera 4D, en un espacio 3D se ve como una esfera sólida, compuesta de infinitas esferas 3D de radio menor que la esfera que las contiene y cuyo radio es r.  En una esfera 4D, la distancia constante se llama radio, denotado con la letra r,  y el punto fijo centro, se denota con las coordenadas (k, h, l, m) ^[1]. En  cuatro dimensiones la ecuación analítica se describe mediante la siguiente expresión:

Ejemplo 03. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

A continuación, en la figura 03 se muestran gráficas o lugares geométricos 4D tipo “Tesesfera”, asociados al  ejemplo 03

Figura Nº 03. Esferas del espacio 4D, asociadas al ejemplo 03.

Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R⁴ con ayuda del software “graficadorE4D”.

“Las figuras geométricas propias del espacio 4D son sólidos“

Biblografía

[1]  Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica                      Editorial Hispano-Americana.

[2]  Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.

[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.               DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.

Book (PDF Available on kindle) · March 2016  Edition: 1ra: Carlos Martínez, Editor: Carlos Martínez, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720

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Dr. Carlos M. Martínez  M.

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Hipérbolas e Hiperboloides 3D y 4D

Hipérbolas e Hiperboloides de una hoja 3D y 4D

© Por: Dr. Carlos Martínez, Lunes 24/10/2016

En este artículo vamos a continuar mostrando curvas, superficies y sólidos 4D. En esta ocasión se van a tratar las hipérbolas y los hiperboloides de una hoja en el espacio de cuatro dimensiones. Estas figuras geométricas pertenecen a la familia de las cuádricas.

 Hipérbola 2D en el espacio 4D

Las curvas tipo hipérbolas 2D en el espacio 4D, están representadas por una de las siguientes ecuaciones, dependiendo del plano donde se defina:

y² =  Ax² +  B,  con  y = 0  y  w = 0,   ec. (01)

 z² =  Ax² +  B,  con  y=0  y   w = 0,   ec. (02)

w² =  Ax² +  B,  con  y = 0  y  z = 0,   ec. (03)

 z²=  Ay² +  B,  con  x = 0  y  w = 0,   ec. (04)

 w² =  Ay² +  B,  con  x = 0  y   z = 0,   ec. (05)

w² =  Az² +  B,  con  x = 0  y  y = 0,   ec. (06)

«Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos» ^[1] . Los planos donde están definidos las hipérbolas que se van a considerar en este artículos son: XY, XZ, XW, YZ, YW y ZW. Las ecuaciones tal y como están definidas las llamaremos ecuaciones ordinarias de las hipérbolas algunas veces conocidas como formas canónicas aunque con una estructuras diferentes a las comúnmente expresadas. un ejemplo se puede apreciar en el siguiente teorema:

Teorema 01. La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal coincidente con el eje X , y focos los puntos (c, 0) y (- c, 0), es

y²/a²–  x²/b²  = 1,  con  y = 0  y  w = 0,   ec. (07)

Ejemplo 01: Trace los lugares geométricos asociados a las siguiente ecuaciones.

^y2 =  16(x²/2-1),  con  y = 0  y  w = 0,   ec. (08)

 z² =  16(x²/2-1),  con  y=0  y   w = 0,   ec. (09)

w² =  16(x²/2-1),  con  y = 0  y  z = 0,   ec. (10)

 z²=  16(y²/2-1),  con  x = 0  y  w = 0,   ec. (11)

 w² =  16(y²/2-1),  con  x = 0  y   z = 0,   ec. (12)

w² =  16(z²/2-1),  con  x = 0  y  y = 0,   ec. (13)

a continuación se muestran los lugares geométricos en el espacio 4D asociados a las ecuaciones anteriores.

 Figura Nº 01. Hipérbolas en 4D, figuras geométricas asociadas al ejemplo 01.

Hiperboloides 3D en el espacio 4D

Las superficies tipo hiperboloides 3D en el espacio 4D, están representadas por la siguiente ecuación:

z² =  Ax² +  By² + C,  con  w = 0,   ec. (14)

 w² =  Ax² +  By² + C,  con  z = 0,   ec. (15)

w² =  Ax² +  Bz² + C,  con  y = 0,   ec. (16)

 w²=  Ay² +  Bz² + C,  con  x = 0,   ec. (17)

Un hiperboloide 3D en 4D está definido para todos los coeficientes A y B diferentes de cero con excepción de la Constante C que puede tomar cualquier valor real. Las  ecuaciones anteriores se pueden indicar que representan las ecuaciones canónicas u ordinarias de un hiperboloide 3D en el espacio 4D y se clasifican en hiperboloides de una hoja, dos hojas y tipo cono dependiendo del valor de C. Si C es negativo la superficie es un hiperboloide de una hoja, si C es positivo la superficie es un hiperboloide de dos hojas y si C es cero la superficie es un cono. Dependiendo, de los valores de A y B la superficie tendrá secciones transversales circulares o elípticas. Si A y B son iguales y distintos de cero, las secciones transversales de la superficie son circulares, si A y B toman diferentes valores y ambas diferentes de cero, las secciones transversales de la superficie son elípticas.

Ejemplo 02. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

 w² =  8x² +  8y² – 16,  con  z = 0,   ec. (18)

A continuación la figura 02 muestra lugares geométricos asociados a la ecuación 18.

 Figura Nº 02. Hiperboloides de una hoja en el espacio 4D, asociados al ejemplo 02.

Superficies de niveles 3D en 4D

Las funciones con tres variables son figuras geométricas propias de la tercera dimensión (espacio 3D). las ecuaciones analíticas en el espacio 3D de estas figuras geométricas tienen la siguiente estructura:

 f(x, y, z) = k,   ec. (19)

Si f es una función cuyo dominio es un conjunto de puntos de R³, la gráfica  de  f  es una superficie de nivel para cada valor de k. Cada superficie de nivel en un espacio 3D es una figura geométrica subcobjunto de una estructura más compleja que es una estructura propia del espacio 4D o lo que nosotros conocemos como un sólido. Para representar las estructuras 3D en un espacio de referencia de cuatro dimensiones es necesario utilizar una de las siguientes ecuaciones:

 f(x, y, z, 0) = k,   ec. (20)

 f(x, y, 0, w) = k,   ec. (21)

 f(x, 0, z, w) = k,   ec. (22)

 f(0,x, y, z) = k,   ec. (23)

En un espacio de cuatro dimensiones hay cuatro subespacios de tres dimensiones y seis subespacios de dos dimensiones. Observe que, para cada valor de k, en cada una de las ecuaciones 9, 10, 11 y 12 es posible construir una superficie de nivel. El conjunto de todas las superficies de niveles forman la estructura propia de la cuarta dimensión el sólido.

Hiperboloide 4D

Un hiberboloide 4D es una figura geométrica propia del espacio 4D, formada por infinitas superficie tridimensional tipo paraboloides. En  cuatro dimensiones la ecuación analítica un hiperboloide 4D pertenece a las figuras geométricas tipo sólido que se describe mediante la siguiente expresión:

w² =  ax² +bx+ cy² +dy+ ez² +f z+gxy+hxz+iyz+j,  ec. (24)

Al igual que los hiperboloides 3D en 4D, las diversas combinaciones de las constantes en la ecuación anterior, produce varios tipos de figuras geométricas. Las más sencillas tienen la siguiente estructura:

w² =  ax² + cy² + ez² + j,  ec. (25)

Un hiperboloide 4D esta definido para todos los coeficientes a, c y e diferentes de cero,  la constante j que puede tomar cualquier valor en el campo de los números reales. La ecuación (14)  representa la ecuación canónica u ordinaria de un hiperboloide en el espacio 4D. Dependiendo del valor que tome la constante j, el sólido formado se puede clasificar como un hiperboloide 4D de una hoja, dos hojas o tipo cono. Si, j es negativo el sólido formado es un hiperboloide 4D de una hoja (con a, c y e positivos); si j es positivo, con a, c y e positivos, el sólido es un hiperboloide 4D de dos hojas y si  j es cero la superficie es un cono 4D. Los valores de a, c y e definen otra característica del sólido. Si las constantes a, c y e son iguales el hiperboloide es esférico; por lo tanto, las secciones transversales de las superficies de niveles que lo conforman son circunferencias. Si uno de los tres valores de a, c y e difiere de los otros dos el hiperboloide es elipsoidal; por lo tanto, las secciones  transversales de las superficies de niveles que lo conforman son elipses. En este artículo y para ejemplificar, sólo mostraremos el hiperboloide de dos hojas 4D el esférico y  el elipsoidal, el resto de las figuras de este tipo pueden consultarlo en el libro “Geometría E4D” referenciado al final del documento.

Ejemplo 03. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

 w² =  8x² + 8y² + 8z² – 16,  ec. (26)

A continuación la figura 03 muestra los lugares geométricos asociados a la ecuación 26 que se corresponde con un hiperboloide 4D esférico de una hoja.

Figura Nº 03. Hiperboloide 4D esférico de una hoja, asociado al ejemplo 03.

Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R⁴ con ayuda del software “graficadorE4D”.

“Las figuras geométricas propias del espacio 4D son sólidos«

Biblografía

[1]  Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.

[2]  Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.

[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

Próximamente tendremos disponibilidad de libros en físicos en caratulas blandas.

Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.

Book (PDF Available on kindle) · March 2016  Edition: 1ra: Carlos Martínez, Editor: Carlos Martínez, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720

Enlace

https://www.amazon.com/Geometr%C3%ADa-E4D-euclidiano-cuatridimensional-bidimensional-ebook/dp/B01C1LRGT8

Autor

Dr. Carlos M. Martínez  M.

Profesor titular

República Bolivariana de Venezuela

Universidad de Carabobo

Escuela de Ingeniería Industrial

© Todos los derechos reservados. Protegido bajo ley.

Para consultas y otras cosas de interés común (Simposio, seminarios, congresos, entre otros) favor escribir al siguiente correo:  cmmm7031@gmail.com

Parábolas, Paraboloides e Hiperparaboloides 4D

Parábolas, Paraboloides e HiperParaboloides 4D

© Por: Dr. Carlos Martínez, Sábado 08/10/2016

Parábola en el espacio 4D

En matemáticas específicamente en geometría analítica, una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a uno. la parábola también se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco. La ecuación analítica en el espacio 4D, dependiendo de las variables que definen a la parábola, ésta tendrá una de las siguientes seis ecuaciones:

Ejemplo 01. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

      w =  x²/4,  ec. (07)

A continuación, la figura 01 muestra el lugar geométrico (una parábola) asociado a la ecuación 07.

Figura Nº 01. Lugar geométrico en el espacio 4D asociado al Ejemplo 01.

Paraboloides en el espacio 4D

Un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que en espacio de cuatro dimensiones se describe mediante una de las siguientes ecuaciones analíticas:

Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos cuadráticos igual o distinto signo, respectivamente.

Ejemplo 02. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

A continuación la figura 02 muestra el lugar geométrico 3D (un paraboloide) asociado a la ecuación 12.

Figura Nº 02. Lugar geométrico 3D en el espacio 4D, asociado al Ejemplo 02.

Hiperparaboloide 4D o Paraboloide 4D

Un paraboloide 4D es una figura geométrica propia del espacio 4D, formada por infinitas superficie tridimensional tipo paraboloides. En  cuatro dimensiones la ecuación analítica se describe mediante la siguiente expresión

Ejemplo 03. Trace el lugar geométrico asociado a la siguiente ecuación analítica.

A continuación, la figura 03 muestra las gráficas o lugares geométricos 4D, “Paraboloide 4D”, asociados a la ecuación 14.

Figura Nº 03. Lugares geométricos del espacio 4D asociado al Ejemplo 03.

Todas las gráficas de este blog fueron trazadas en el espacio de R⁴ con ayuda del software “graficadorE4D”.

“La geometría de alta dimensión esta presente en el interior de los cuerpos«

Biblografía

[1]  Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana.

[2]  Leithold, L., (1998). El cálculo. Oxford University Press.

[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

Nota importante: Próximamente tendremos disponibilidad de libros en físicos en caratulas blandas, para exportar a cualquier parte del mundo.

Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.

Book (PDF Available on kindle) · March 2016  Edition: 1ra: Carlos Martínez, Editor: Carlos Martínez, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720

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Autor

Dr. Carlos M. Martínez  M.

Profesor titular

República Bolivariana de Venezuela

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Superficies en 4D

Superficies geométricas en el espacio 4D

© Por: Dr. Carlos Martínez, Domingo 25/09/2016

Una superficie es lugar geométrico propio de un espacio tridimensional, formado por un conjunto de puntos  que satisfacen la siguiente ecuación:

f(x, y, z) = 0,     ec. (1)

El recíproco también debe cumplirse, si una superficie puede representarse analíticamente mediante  una ecuación, ésta debe tener la forma dada por la ecuación (1)^[1]. Si, f es una función de dos variables, digamos x e y; entonces, el lugar geométrico de f es un conjunto de puntos, digamos (x,y, z) de R³, para los cuales (x, y) es un punto del dominio de  f, así;

z = f(x,y),   ec. (2)

El lugar geométrico de f es una superficie que consta de todos los puntos del espacio tridimensional y cuyas coordenadas están determinadas por la terna, digamos  (x, y, z) de R³.^[2]

Ahora, que sucede en R⁴. Veamos lo siguiente, como en un espacio de cuatro dimensiones existen cuatro sub-espacios tridimensionales, una superficie en  R⁴ se puede definir de cuatro maneras diferentes ^[3]. En vista de que una superficie es un lugar geométrico propio tridimensional, una superficie en R⁴ es un lugar geométrico formado por los puntos que satisfacen a una de las siguientes ecuaciones:

f(x, y, z, 0) = 0,     ec. (3)

f(x, y, 0, w) = 0,     ec. (4)

f(x, 0, z, w) = 0,     ec. (5)

f(0, y, z, w) = 0,     ec. (6)

Euclides definió a una superficie de la siguiente manera (Libro I, Los elementos): “Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura”. Desde el punto de vista topológico, una superficie es  un conjunto de puntos de un espacio euclidiano que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, visto de cerca, se parece al espacio euclidiano bidimensional. Una superficie es un lugar geométrico propio de R³. A continuación, se muestran ejemplos de superficies en R^4 . Es de destacar que todas las gráficas fueron trazadas en un espacio de R⁴. Estas gráficas fueron elaboradas con ayuda del software “graficadorE4D”.

“La geometría de alta dimensión está presente en el interior de los cuerpos.”

Referencias

[1]  Lehmann, C. H., & Sors, M. S. (1953). Geometría analítica. Unión Tipográfica                     Editorial Hispano-Americana.

[2]  Leithold, L. (1998). El cálculo (No. 517).Oxford University Press.

[3] Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.                DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720, ASIN: B01C1LRGT8.

Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.

Book (PDF Available on kindle) · March 2016  Edition: 1ra: Carlos Martínez, Editor: Carlos Martínez, ISBN: 978-980-12-8563-2. DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720

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Curvas trigonométricas tipo seno en el espacio 4D

© Por: Dr. CARLOS MARTÍNEZ, Domingo 18/09/2016

En este blog continuamos presentando una serie curvas paramétricas novedosas del espacio 4D. Nos referimos a  curvas trigonométricas con los efectos de doble curvatura que ocasionan la tercera y la cuarta dimensión en curvas tradicionales pertenecientes al espacio 2D. Los ejemplos escogidos en esta ocasión, se corresponden con las curvas trigonométricas tipo: seno y se presentan con varios tipos de efectos, trazadas en un espacio 4D.

Continuamos mostrando que un sistema de ecuaciones paramétricas permite trazar curvas, superficies o cualquier tipo de figura geométrica complejas en sistemas de referencias de alta dimensión. Todas las curvas fueron trazadas con ayuda del software “GraficadorE4D”.

Referencia

Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.

Book (PDF Available on kindle) · March 2016

Edition: 1ra: Carlos Martínez, Editor: Carlos Martínez, ISBN: 978-980-12-8563-2.

DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720 

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Dr. Carlos M. Martínez  M.

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Familia de curvas tipo Epicicloide e Hipocicloide en el espacio 4D

Curvas parmétricas del espacio 4D

(2da. Parte)

DR. CARLOS MARTÍNEZ, Jueves 15/09/2016

Una epicicloide es el lugar geométrico que se forma cuando en 2D, un punto fijo cualquiera de una circunferencia rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia fija. Una hipocicloide es el lugar geométrico que se forma cuando en 2D, un punto fijo cualquiera de una circunferencia rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia fija. Cada punto de la hipocicloide que esta sobre la circunferencia fija es un pico, la porción de curva comprendida entre dos picos sucesivos se llama arco. Las ecuaciones paramétricas de la familia de curvas tipo hipocicloide son similares a la del tipo epicicloide; pero, cambian los valores de los parámetros. Un sistema de ecuaciones paramétrica de esta familia de curvas en el espacio 2D, es como la que sigue:

x = (c – d) cos(u) + d cos [(c – d)/c× u]

y = (c – d) sin(u) + b sin [(c – d)/c× u]

Donde, c y d son parámetros conocidos y u es la variable de parametrización. Si, asignamos una tercera coordenada obtenemos variantes de la Hipocicloide o de la epicicloide en un espacio 3D. Un ejemplo:

 

x = a×cos(t)

y = (c – d) cos(u) + d cos [(c – d)/c× u]

z =  (c – d) sin(u) + b sin [(c – d)/c× u]

Ahora, si asignamos una cuarta coordenada obtenemos variantes de la hipocicloide; o de la epicicloide; en un espacio 4D. A continuación, se muestra un ejemplo de un sistema de ecuaciones paramétricas para esta familia de curvas; pero, en espiral y en 4D,

 

x = a×cos(t)

y = b×sin(t)

z =  (c – d) cos(u) + d cos [(c – d)/c× u]

w =  (c – d) sin(u) + b sin [(c – d)/c× u]

De esta manera, reafirmamos  lo dichos en los blogs anteriores: «Un sistema de ecuaciones paramétricas permite trazar curvas, superficies o cualquier tipo de figura geométrica en un espacio n-dimensional».  A continuación, se muestran lugares geométricos de esta familia de curvas en un sistema de referencia 4D. Las curvas fueron trazadas utilizando el software “GraficadorE4D”.

Referencia

Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.

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Familia de curvas tipo Epicicloide e Hipocicloide en el espacio 4D

CURVAS PARAMÉTRICAS 4D

DR. CARLOS MARTÍNEZ,  Jueves 10/09/2016

Una epicicloide es el lugar geométrico que se forma cuando en 2D un punto fijo cualquiera de una circunferencia que rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia fija. Una hipocicloide es el lugar geométrico que se forma cuando en 2D un punto fijo cualquiera de una circunferencia que rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra circunferencia fija. Cada punto de la epicicloide o de la hipocicloide que esta sobre la circunferencia fija, es un pico; la porción de curva comprendida entre dos picos sucesivos se llama arco.

Las ecuaciones paramétricas de la familia de curvas tipo epicicloide y de la hipocicloide en 2D, son las siguiente:

x = (a – b) cos(u) + b cos [(a – b)/b× u]
y = (a – b) sin(u) – b sin [(a – b)/b× u]

Si, asignamos una tercera coordenada obtenemos variantes de la hipocicloide en pero 3D. Un ejemplo:

x = (a – b) cos(u) + b cos [(a – b)/b× u]
y = (a – b) sin(u) – b sin [(a – b)/b× u]
z = c×sin(y)Ahora si, asignamos una cuarta coordenada obtenemos variantes de la hipocicloide en pero 4D. Un ejemplo,

x = (a – b) cos(u) + b cos [(a – b)/b× u]
y = (a – b) sin(u) – b sin [(a – b)/b× u]
z = c×sin(y)
w = d ×abs(z)

Las ecuaciones paramétricas permiten trazar curvas, superficies o cualquier tipo de figura geométrica en un espacio n-dimensional.  La variedad es infinita. Cualquier lugar geométrico 2D o 3D puede ser trazado en un espacio de dimensiones superiores. En este blog continuamos mostrando varios lugares geométricos en 4D. Estas curvas fueron elaboradas con ayuda del software “GraficadorE4D”.

Referencia

Martínez Carlos (2016). Geometría E4D. 1ra edición, ISBN: 978-980-12-8563-2.

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Edition: 1ra: Carlos Martínez, Editor: Carlos Martínez, ISBN: 978-980-12-8563-2.

DOI: 10.13140/RG.2.1.2103.2720 

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